 |
 |
|
|
|
||
 |
 |
|
|
|
|
|
 |
Karmaşık Sayıların Kutupsal Gösterimi Hit: 117 Tarih: 2011-12-26 Ekleyen: blackprens |
 |
 »1. Sınıf Matematik Çıkarma İşlemi Problemleri»çıkarma Işlemi Ile Ilgili Yaş Problemi »Çıkarma İşlemi(genel-çok Eğlenceli) »Çıkarma İşleminde Çıkanı Bulma(çok Renkli) »Çıkarma İşleminde Eksileni Bul(çok RENKLİ) »Çıkarma İşleminde Eksileni Bulma(çok Renkli) »Çıkarma İşleminde Verilmeyen Çıkanı Bulma(çok çok »Çıkarma İşleminde Verilmeyen Çıkanı Bulma(çok çok Renkli) »Çıkarma İşleminde Verilmeyen Eksileni Bul(çok çok Renkli) »Çıkarma İşleminde Verilmeyen Eksileni Bul(çok çok Renkli) »Doğal Sayılarda Çıkarma İşlemi(çok Renkli) »Doğal Sayılarda Çıkarma İşlemi(çok Renkli) »Grup Karma »Karmaşık Sayılar »Karmaşık Sayılar Ve Logaritma Test Ve Soruları | Karmaşık Sayıların Kutupsal GösterimiKARMAŞIK(KOMPLEKS) SAYILAR ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur Çünkü,( x² + 1 = 0 Þ x² = -1 ) karesi -1 olan reel sayı yoktur Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız A TANIM: a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir C = z : z = a + bi ; a, b Î R ve Ö-1 = i dir ( i = Ö-1 Þ i² = -1 dir) z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir Örnek: Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 - 3i, Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür Z2 = 2 - 3i Þ Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3, Z3 = Ö3 + i Þ Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1, Z4 = 7 Þ Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0, Z5 = 10i Þ Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur Örnek: x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım Çözüm: Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 415 = -16 = 16i² X1,2 = -b ± ÖΔ = -(-2) ± Ö16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir 2a 21 2 Ç = 1 - 2i, 1 + 2i dir B İ ´NİN KUVVETLERİ iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır Buna göre , n Î N olmak üzere, i4n = 1 i4n + 1 = i i4n + 2 = -1 i4n + 3 = -i dir Örnek: ( i14 + i15 + 1 )( i99 + i100 - 1) işleminin sonucunu bulalım Çözüm: i14 = (i4)3i2 = 13(-1) = -1 i15 = (i4)3i3 = 13(-i) = -i i99 = (i4)24 i 3 = 124(-i) = -i i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için, (i24 + i15 + 1)(i99 + i100 - 1) = (-1 - i + 1)(-i + 1 - 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir C İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir Z1 = a + bi olsun Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir Z2 = c + di Örnek: Z1 = a + 3 + 2bi + 3i Z 2 = 8 + (a + b)i Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım Çözüm: Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan, a + 3 = 8 Þ a = 5 2b + 3 = a + b Þ 2b + 3 = 5 + b Þ b = 2 dir Örnek: Z1 = (a + b + 3) + (a - 2)i Z2 = 0 Z1 = Z2 olduğuna göre, ab değerini bulalım Çözüm: Z1 = Z2 olduğundan, a - 2 = 0 Þ a =2, a + b + 3 = 0 Þ 2 + b + 3 = 0 Þ b = -5 tir O halde, ab = 2(-5) = -10 dur D BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ _ Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a - bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir Örnek: _ 1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i, _ 2) Z2 = Ö2 - Ö3i sayısının eşleniği Z2 = Ö2 + Ö3i, _ 3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i, _ 4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12, _ 5) Z5 = Ö3 - Ö2 sayısının eşleniği Z5 = Ö3 - Ö2 dir Örnek: Z = a + bi olmak üzere, _ 3 Z - 1 = 2(4 - i) olduğuna göre, a + b toplamını bulalım Çözüm: _ 3 Z - 1 = 2(4 - i) 3 (a - bi) - 1 = 8 - 2i 3a - 1 - 3bi = 8 - 2i olduğundan, 3a -1 = 8 ve -3b = -2 dir 3a - 1 = 8 Þ 3a = 9 Þ a = 3 ve -3b = -2 Þ b = 2/3 tür O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3 Not: __ 1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z ) 2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni _ karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m - ni sayısıdır E KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 1) Toplama - Çıkarma Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ) |
 |
|  |
|
|
|
|
|
